Le calcul d’une valeur absolue en mathématiques se fait suivant une formule comme c’est d’ailleurs le cas pour tous les autres calculs. Au niveau d’une ligne graduée négativement à gauche et positivement à droite, depuis 0, cette valeur d’une des unités équivaut à sa distance à 0. Par conséquent, deux nombres opposés ont la même valeur absolue. Cet article vous en dit plus à ce sujet.
Plan de l'article
Le calcul de la valeur absolue
Il faut savoir avant tout que la valeur absolue est une distance. Elle désigne ainsi la valeur qui sépare le nombre de la valeur absolue du 0 sur la ligne graduée. Chercher à résoudre la valeur -4 consiste donc à déterminer la distance qui la sépare de 0. Etant donné que cette dernière est toujours positive de nature, la valeur absolue sera également toujours positive.
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Par définition, la valeur absolue convertit n’importe quel nombre en nombre positif, qu’il soit positif ou négatif. D’ailleurs, elle est aussi utilisée en mathématiques qu’en finances et en économie.
Vous avez la possibilité d’utiliser des traits verticaux pour signifier la valeur absolue. Ceux-ci seront de part et d’autre de la valeur. Pour faire un seul trait sur votre clavier, appuyez sur Alt Gr+6 (Linux, Windows) ou sur Alt+Maj+L (MAC). |x|, |-72| et |4 + 6| sont tous des valeurs absolues.
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|2| se lit donc « valeur absolue de 2 ».
Si vous retirez le signe « – » d’un nombre négatif en valeur absolue, |-5| revient à la même chose que |5|. Supprimez les traits verticaux pour obtenir le nombre de la valeur absolue. Dans l’exemple, |-5| présente la même valeur que |5|, soit 5. Et donc |-5| = 5.
La valeur absolue d’expressions complexes
Si la quantité est négative à l’intérieur d’une valeur absolue, alors il est possible de retirer le signe négatif. Toutefois, dans le cas où la quantité est un produit ou une somme, vous devrez effectuer le calcul afin de déterminer la valeur absolue.
De ce fait, vous devez calculer au préalable| (-4 x 5) + 3 – 2| tout en respectant l’ordre des opérations. Il faut alors commencer par calculer l’expression | (-4 x 5) + 3 – 2| et calculer ce qu’il se trouve au sein des parenthèses. Vous obtenez alors | (-20) + 3 – 2|. Faites l’addition puis la soustraction, ce qui vous permet d’obtenir |-19|. Supprimez le signe négatif dans la valeur absolue.
En somme : | (-4 x 5) + 3 – 2| = 19.
Respecter l’ordre des opérations
Vous devez effectuer toutes les opérations dans l’ordre. A cet effet, retenez que le contenu entre parenthèse est toujours prioritaire.
Par exemple, pour calculer l’expression 1 + 2 + |4 – 7| / 5 (|-3 x 2|) il faut respecter l’ordre et commencer par une simplification. Ce qui vous permet d’obtenir 3 + |-3| / 5(|-6|). Ensuite, calculez les valeurs absolues 3 + 3 /5(6) et poursuivez pour obtenir 6/30. En simplifiant le résultat, vous aurez 1/5.
Pour calculer la valeur absolue d’un nombre, il faut suivre des procédures spécifiques. N’hésitez pas à vous entrainer régulièrement afin de maitriser la méthode de calcul.
Les propriétés de la valeur absolue
Les propriétés de la valeur absolue permettent d’appréhender plus facilement les différentes opérations à effectuer. Voici quelques-unes des propriétés qui peuvent vous aider dans vos calculs.
La première propriété est la symétrie. Elle stipule que |-a| = |a|. Autrement dit, le résultat obtenu sera toujours positif, quel que soit le signe du nombre a.
Cette deuxième propriété consiste en ce que |a • b| = |b • a|. Cela veut dire qu’en transposant l’un des nombres, on n’affectera pas le résultat final.
Constituant la troisième propriété importante, elle stipule que pour tout a et b réels, |a + b| ≤ |a| + |b|. Cette inégalité reste toujours vraie même si les valeurs de a et b sont négatives. Par exemple :
Si nous avons 3 et -2 comme valeurs alors |-2 + 3|=1. D’un autre côté il y a aussi |-2|=2 et |3|=3. En appliquant l’inégalité triangulaire on aura : 1 ≤ (|-2| + |3|), d’où 1 ≤ 5. C’est bel et bien vrai.
Il existe encore plusieurs autres propriétés relatives aux valeurs absolues, mais celles-ci citées ci-dessus sont suffisantes pour résoudre une grande partie des problèmes liés au calcul avec les valeurs absolues.
Donc, afin de comprendre comment on calcule une valeur absolue, il faut connaître les propriétés qui y sont rattachées. Cela permettra d’appréhender facilement les différentes opérations à effectuer.
Utilisation de la valeur absolue dans les applications pratiques
Maintenant que nous avons vu comment on calcule une valeur absolue et les propriétés qui y sont liées, pensez à bien comprendre son utilisation dans les applications pratiques. Voici quelques exemples concrets où la valeur absolue est utilisée.
Dans le domaine des mathématiques financières, la valeur absolue est essentielle pour mesurer la variation d’une action. Par exemple, si vous avez acheté une action à 10€ et qu’elle passe à -5€, cette chute représente une perte de 100% de votre investissement initial. En revanche, si l’action passe de 10€ à 5€ puis remonte à nouveau jusqu’à atteindre les 10€ initiaux, alors cela signifie que votre investissement a retrouvé sa valeur initiale malgré la baisse temporaire.
La programmation utilise aussi beaucoup la fonction valeur absolue. Elle permet notamment d’éviter les résultats négatifs lors du calcul des distances ou encore lors du positionnement graphique sur un écran.
La physique exploite aussi largement cette notion afin de trouver des valeurs positives pour certaines grandeurs telles que le travail ou l’énergie cinétique par exemple.
Dans ce domaine, elle trouve sa place en aidant, entre autres, à déterminer le centre d’un cercle circonscrit ou dans certains cas particuliers comme pour le tracé correctif avec rapporteur.
Comme nous pouvons constater tout au long de cet article, la valeur absolue a divers usages dans des domaines très variés. Ces exemples montrent que la connaissance des propriétés de cette fonction mathématique est essentielle pour comprendre les applications pratiques qu’elle recouvre.